Tout le monde aime les mystères non résolus. Citons par exemple la disparition d'Amelia Earhart au-dessus du Pacifique en 1937 et l'évasion audacieuse des détenus Frank Morris, John et Clarence Anglin de l'île d'Alcatraz en Californie en 1962. De plus, notre intérêt demeure même si le mystère repose sur une blague. Prenez le roman de science-fiction populaire de 1979 de l’auteur Douglas Adams.Le Guide du voyageur galactique,le premier d'une série de cinq. Vers la fin du livre, le superordinateur Deep Thought révèle que la réponse à la « Grande question » de « La vie, l’univers et tout » est « quarante-deux ».
La pensée profonde prend 7,5 millions d’années pour trouver la réponse à la question ultime. Les personnages chargés d’obtenir cette réponse sont déçus car elle n’est pas très utile. Pourtant, comme le souligne l’ordinateur, la question elle-même était vaguement formulée. Pour trouver l’énoncé correct de la requête dont la réponse est 42, l’ordinateur devra construire une nouvelle version de lui-même. Cela aussi prendra du temps. La nouvelle version de l'ordinateur est Earth. Pour savoir ce qui se passe ensuite, vous devrez lire les livres d’Adams.
Le choix de l’auteur du nombre 42 est devenu un incontournable de la culture geek. C’est à l’origine d’une multitude de blagues et de clins d’œil échangés entre initiés. Si, par exemple, vous posez à votre moteur de recherche des variantes de la question « Quelle est la réponse à tout ? il répondra très probablement « 42 ». Essayez-le en français ou en allemand. Vous obtiendrez souvent la même réponse, que vous utilisiez Google, Qwant, Wolfram Alpha (spécialisé dans le calcul de problèmes mathématiques) ou l’application Web de chatbot Cleverbot.
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Depuis la création de la première école de ce type en France en 2013, on a assisté à une prolifération d’établissem*nts privés de formation en informatique au sein du « Réseau 42 », dont le nom fait clairement allusion aux romans d’Adams. Aujourd'hui, l'entreprise fondatrice compte plus de 15 campus dans son réseau mondial. Le nombre 42 apparaît également sous différentes formes dans le filmSpider-Man : dans le Spider-Verse. Beaucoup d'autresréférences et allusions à celui-cipeut être trouvé, par exemple, dans l’entrée Wikipédia pour « 42 (numéro) ».
Le nombre 42 apparaît également dans toute une série de coïncidences curieuses dont la signification ne vaut probablement pas la peine d'être comprise. Par exemple:
Dans la mythologie égyptienne antique, lors du jugement des âmes, les morts devaient déclarerdevant 42 jugesqu'ils n'avaient commis aucun des 42 péchés.
La distance marathon de 42,195 kilomètres correspond à la légende de la distance parcourue par l'ancien messager grec Pheidippide entre Marathon et Athènes pour annoncer la victoire sur les Perses en 490 av. (Le fait que le kilomètre n’ait pas encore été défini à cette époque ne fait que rendre le rapprochement d’autant plus étonnant.)
Le Tibet antique avait42 règles. Nyatri Tsenpo, qui régna vers 127 avant JC, fut le premier. Et Langdarma, qui régna de 836 à 842 après J.-C. (soit la 42e année du IXe siècle), fut le dernier.
La Bible de Gutenberg, le premier livre imprimé en Europe, comporte 42 lignes de texte par colonne et est également appelée la « Bible à quarante-deux lignes ».
Selon un 6 marsÉconomistearticle de blog marquant le 42e anniversaire de l'émission de radioLe Guide du voyageur galactique, qui a précédé le roman, «le 42e anniversaire de quoi que ce soit est rarement observé.»
Un choix purement arbitraire
Une question évidente, qui a d’ailleurs été posée, est de savoir si l’utilisation du chiffre 42 dans les livres d’Adams avait une signification particulière pour l’auteur. Sa réponse, publiée sur le groupe de discussion en ligne alt.fan.douglas-adams, a été succincte : « C'était une blague. Il fallait que ce soit un nombre, un nombre ordinaire, un peu petit, et j'ai choisi celui-là. Les représentations binaires, base treize, des moines tibétains sont toutes complètement absurdes. Je me suis assis à mon bureau, j'ai regardé le jardin et j'ai pensé « 42 suffiront. » Je l'ai tapé. Fin de l'histoire."
Dans le système binaire, ou base 2, 42 s'écrit 101010, ce qui est assez simple et a d'ailleurs incité quelques fans à organiser des soirées le 10 octobre 2010 (10/10/10). La référence à la base 13 dans la réponse d’Adams nécessite une explication plus indirecte. Dans un cas, la série suggère que 42 est la réponse à la question « Qu'obtenez-vous si vous multipliez six par neuf ? » Cette idée semble absurde car 6 x 9 = 54. Mais en base 13, le nombre exprimé par « 42 » est égal à (4 x 13) + 2 = 54.
Hormis les allusions au 42 délibérément introduites par les informaticiens pour s'amuser et les inévitables rencontres avec ce chiffre qui surgissent lorsqu'on fouille un peu dans l'histoire ou le monde, on peut encore se demander s'il y a quelque chose de spécial dans ce nombre d'un point de vue strictement mathématique. de vue.
Mathématiquement unique ?
Le nombre 42 possède une série de propriétés mathématiques intéressantes. En voici quelques uns:
Le nombre est la somme des trois premières puissances impaires de deux, soit 2.1+ 23+ 25= 42. C'est un élément de la séquenceun(n), qui est la somme denpuissances impaires de 2 pourn> 0. La séquence correspond à l'entréeA020988dansL'encyclopédie en ligne des séquences entières(OEIS), créé par le mathématicien Neil Sloane. En base 2, lenle ème élément peut être spécifié en répétant 10nfois (1010 ... 10). La formule de cette séquence estun(n) = (2/3)(4n- 1). Commenaugmente, la densité des nombres tend vers zéro, ce qui signifie que les nombres appartenant à cette liste, dont 42, sont exceptionnellement rares.
Le nombre 42 est la somme des deux premières puissances entières non nulles de six, soit 6.1+ 62= 42. La séquenceb(n), qui est la somme des puissances de six, correspond à l’entréeA105281dans OEIS. Il est défini par les formulesb(0) = 0,b(n) = 6b(n– 1) + 6. La densité de ces nombres tend également vers zéro à l’infini.
Quarante-deux est un nombre catalan. Ces nombres sont extrêmement rares, bien plus que les nombres premiers : seuls 14 d’entre eux sont inférieurs au milliard. Les nombres catalans ont été mentionnés pour la première fois, sous un autre nom, par le mathématicien suisse Leonhard Euler, qui voulait savoir de combien de manières différentes unnUn polygone convexe à côtés pourrait être découpé en triangles en reliant les sommets avec des segments de ligne. Le début de la séquence (A000108dans OEIS) est 1, 1, 2, 5, 14, 42, 132.... LenLe ème élément de la séquence est donné par la formulec(n) = (2n)! / (n!(n+ 1)!). Et comme les deux séquences précédentes, la densité des nombres est nulle à l’infini.
Les nombres catalans portent le nom du mathématicien franco-belge Eugène Charles Catalan (1814-1894), qui a découvert quec(n) est le nombre de façons d'organiserndes paires de parenthèses selon les règles habituelles pour leur écriture : une parenthèse n'est jamais fermée avant d'avoir été ouverte, et on ne peut la fermer que lorsque toutes les parenthèses ouvertes par la suite sont elles-mêmes fermées.
Par exemple,c(3) = 5 car les arrangements possibles de trois paires de parenthèses sont :
( ( ( ) ) ); ( ) ( ) ( ); ( ( ) ) ( ); ( ( ) ( ) ); ( ) ( ( ) )
Quarante-deux est également un nombre « pratique », ce qui signifie que tout entier compris entre 1 et 42 est la somme d'un sous-ensemble de ses diviseurs distincts. Les premiers nombres pratiques sont 1, 2, 4, 6, 8, 12, 16, 18, 20, 24, 28, 30, 32, 36, 40, 42, 48, 54, 56, 60, 64, 66 et 72. (séquenceA005153dans OEIS). Aucune formule simple connue ne fournitnème élément de cette séquence.
Tout cela est amusant, mais il serait faux de dire que 42 est vraiment quelque chose de spécial mathématiquement. Les nombres 41 et 43, par exemple, sont également des éléments de nombreuses séquences. Tu peuxexplorer les propriétés de divers nombresest Wikipédia.
Ce qui rend un nombre particulièrement intéressant ou inintéressant est une question que le mathématicien et psychologue Nicolas Gauvrit, le naturaliste informatique Hector Zenil et moi-même avons étudié, en commençant par une analyse des séquences dans l'OEIS. Au-delà d'un lien théorique avec la complexité de Kolmogorov (qui définit la complexité d'un nombre par la longueur de sa description minimale), nous avons montré que les nombres contenus dans l'encyclopédie de Sloane témoignent d'une culture mathématique partagée et, par conséquent, que l'OEIS repose sur beaucoup sur les préférences humaines en tant qu’objectivité mathématique pure.
Problème de la somme de trois cubes
Les informaticiens et les mathématiciens reconnaissent l'attrait du nombre 42 mais ont toujours pensé qu'il s'agissait d'un jeu simple qui pouvait tout aussi bien se jouer avec un autre nombre. Pourtant, une actualité récente a retenu leur attention. Lorsqu’il était appliqué au problème de la « somme de trois cubes », 42 était plus problématique que tous les autres nombres inférieurs à 100.
Le problème s’énonce comme suit : Quels entiersnpeut être écrit comme la somme de trois cubes entiers (n=un3+b3+c3) ? Et pour de tels entiers, comment trouve-t-onun,betc?En pratique, la difficulté de faire ce calcul est que pour un temps donnén, l'espace des triplets à considérer fait intervenir des entiers négatifs. Cet espace triplet est donc infini, contrairement au calcul de la somme des carrés. Pour ce problème particulier, toute solution a une valeur absolue inférieure à la racine carrée d'un nombre donné.n. De plus pour la somme des carrés, on sait parfaitement ce qui est possible et impossible.
Pour la somme des cubes, certaines solutions peuvent être étonnamment grandes, comme celle pour 156, découverte en 2007 :
156 = 26 577 110 807 5693+ (−18 161 093 358 005)3+ (−23 381 515 025 762)3
Notez que pour certaines valeurs entières den, l'équationn=un3+b3+c3n'a pas de solution. C'est le cas pour tous les entiersnqui s'expriment par 9m+ 4 ou 9m+ 5 pour tout entierm(par exemple, 4, 5, 13, 14, 22, 23). La démonstration de cette affirmation est simple : nous utilisons le calcul « modulo 9 » (mod 9), ce qui revient à supposer que 9 = 0 et à manipuler ensuite uniquement les nombres compris entre 0 et 8 ou entre −4 et 4. Ce faisant, nous regarde ça:
03= 0 (mod 9); 13= 1 (mod 9); 23= 8 = –1 (mod 9) ; 33= 27 = 0 (mod 9) ; 43= 64 = 1 (mod 9) ; 53= (–4)3= –64 = –1 (mod 9) ; 63= (–3)3= 0 (mod 9); 73= (–2)3= 1 (mod 9); 83= (–1)3= –1 (mod 9)
En d’autres termes, le cube d’un entier modulo 9 vaut –1 (= 8), 0 ou 1. L’addition de trois nombres parmi ces nombres donne :
0 = 0 + 0 + 0 = 0 + 1 + (–1) ; 1 = 1 + 0 + 0 = 1 + 1 + (–1) ; 2 = 1 + 1 + 0 ; 3 = 1 + 1 + 1 ; 6 = –3 = (–1) + (–1) + (–1) ; 7 = –2 = (–1) + (–1) + 0 ; 8 = –1 = (–1) + 0 + 0 = 1 + (–1) + (–1)
Vous ne pouvez pas obtenir une somme de 4 ou 5 (= –4). Cette restriction signifie que les sommes de trois cubes ne sont jamais des nombres de la forme 9.m+ 4 ou 9m+ 5. On dit donc quen= 9m+ 4 etn= 9m+ 5 sont des valeurs interdites.
À la recherche de solutions
Pour illustrer à quel point il est difficile de trouver des solutions à l’équationn=un3+b3+c3, voyons ce qui se passe pourn= 1 etn= 2.
Pourn= 1, il y a la solution évidente :
13+ 13+ (–1)3= 1
Y en a-t-il d'autres ? Oui il y a:
93+ (–6)3+ (–8)3= 729 + (–216) + (–512) = 1
Ce calcul n’est pas la seule autre solution. En 1936, le mathématicien allemand Kurt Mahler en proposa un nombre infini. Pour tout entierp:
(9p4)3+ (3p– 9p4)3+ (1 – 9p3)3= 1
Cette proposition peut être prouvée en utilisant l'identité remarquable :
(UN+B)3=UN3+ 3UN2B+ 3UN B2+B3
Un ensemble infini de solutions est également connu pourn= 2. Il a été découvert en 1908 par le mathématicien A. S. Werebrusov. Pour tout entierp:
(6p3+ 1)3+ (1 – 6p3)3+ (–6p2)3= 2
En multipliant chaque terme de ces équations par le cube d'un entier (r3), on en déduit qu’il existe également une infinité de solutions pour le cube et le double du cube de tout entier.
Prenons l'exemple de 16, qui est le double du cube de 2. Pour p = 1, on obtient :
143+ (–10)3+ (–12)3= 16
Notez que pourn= 3, en août 2019, seules deux solutions étaient connues :
13+ 13+ 13= 3 ; 43+ 43+ (–5)3= 3
Une question qui s’ensuit naturellement est la suivante : existe-t-il au moins une solution pour chaque valeur non interdite ?
Ordinateurs au travail
Pour répondre à cette question, les mathématiciens ont commencé par prendre les valeurs non interdites 1, 2, 3, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 15, 16... (A060464dans OEIS) et en les examinant un par un. Si des solutions peuvent être trouvées pour toutes ces valeurs examinées, il sera raisonnable de supposer que pour tout nombre entiernce n'est pas de la formen= 9m+ 4 oun= 9m+ 5, il y a des solutions à l'équationn=un3+b3+c3.
Les recherches menées jusqu'à présent, qui dépendent de la puissance des ordinateurs ou des réseaux informatiques utilisés, ont produit un ensemble de résultats toujours plus nombreux. Cette œuvre nous ramène au célèbre et intrigant nombre 42.
En 2009, employant une méthode proposée par Noam Elkies de l'Université Harvard en 2000, les mathématiciens allemands Andreas-Stephan Elsenhans et Jörg Jahnelj'ai exploré tous les triplés un,b,cd'entiers de valeur absolue inférieure à 1014trouver des solutions pournentre 1 et 1 000. Le document rapportant leurs conclusions concluait que la question de l'existence d'une solution pour les nombres inférieurs à 1 000 restait ouverte uniquement pour 33, 42, 74, 114, 165, 390, 579, 627, 633, 732, 795, 906, 921 et 975. Pour les nombres entiers inférieurs à 100, il ne restait plus que trois énigmes : 33, 42 et 74.
Dans un article pré-imprimé de 2016, Sander Huisman, maintenant à l'Université de Twente aux Pays-Bas, a poursuivi ettrouvé une solution pour 74:
(–284 650 292 555 885)3+ (66 229 832 190 556)3+ (283 450 105 697 727)3
En 2019Andrew Booker de l'Université de Bristol en Angleterreréglé le cas de 33:
8 866 128 975 287 528)3+ (–8 778 405 442 862 239)3+ (–2 736 111 468 807 040)3
À partir de ce moment, le nombre de Douglas Adams était le dernier entier positif inférieur à 100 dont la représentation comme somme de trois cubes entiers était inconnue. S’il n’y avait pas de solution, cette conclusion fournirait une justification véritablement convaincante de la signification mathématique de 42 : ce serait le premier nombre pour lequel une solution semblait possible mais aucune n’avait été trouvée. Les ordinateurs ont essayé mais n’ont pas réussi à résoudre le problème.
La réponse est venue dans une prépublication de 2020, le résultat d'un énorme effort de calcul coordonné par Booker et Andrew Sutherland du Massachusetts Institute of Technology. Les ordinateurs participant au réseau d'ordinateurs personnels Charity Engine, calculant l'équivalent de plus d'un million d'heures, ont montré :
42 = (–80 538 738 812 075 974)3+ 80 435 758 145 817 5153+ 12 602 123 297 335 6313
Les cas 165, 795 et 906 ont également été résolus récemment. Pour les entiers inférieurs à 1 000, seuls 114, 390, 579, 627, 633, 732, 921 et 975 restent à résoudre.
La conjecture selon laquelle des solutions existent pour tous les entiersnqui ne sont pas de la forme 9m+ 4 ou 9m+ 5 semble être confirmé. En 1992, Roger Heath-Brown de l'Université d'Oxford a proposé une conjecture plus forte affirmant qu'il existe une infinité de façons d'exprimer toutes les possibilités.nC’est la somme de trois cubes. Le travail est loin d’être terminé.
La difficulté semble si intimidante que la question « Est-ce quenune somme de trois cubes ? peut être indécis. En d’autres termes, aucun algorithme, aussi intelligent soit-il, ne peut traiter tous les cas possibles. En 1936, par exemple, Alan Turing a montré qu’aucun algorithme ne peut résoudre le problème de l’arrêt pour tous les programmes informatiques possibles. Mais nous sommes ici dans un domaine purement mathématique, facilement descriptible. Si nous pouvions prouver une telle indécidabilité, ce serait une nouveauté.
Le numéro 42 a été difficile, mais ce n'est pas l'étape finale !
Cet article a été initialement publié dansPour la Scienceet a été reproduit avec autorisation.
